{"id":1061,"date":"2021-11-09T21:57:05","date_gmt":"2021-11-09T17:57:05","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=1061"},"modified":"2025-12-20T21:24:00","modified_gmt":"2025-12-20T17:24:00","slug":"milieux-elliptiques-et-applications","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=1061","title":{"rendered":"Milieux elliptiques et applications"},"content":{"rendered":"\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Milieux de deux points<\/h2>\n\n\n\n<p>Pour construire le milieu de deux points dans un mod\u00e8le quelconque de g\u00e9om\u00e9trie non euclidienne, du moins de mani\u00e8re g\u00e9om\u00e9trique, c\u2019est-\u00e0-dire quand ce n\u2019est pas avec le calcul dans le mod\u00e8le (menu <strong>PS<\/strong>), ou par conjugaison (menu <strong>PSH<\/strong>), la proc\u00e9dure classique consiste \u00e0 construire d\u2019abord le sym\u00e9trique par rapport \u00e0 une droite, puis en d\u00e9duire la construction d\u2019un cercle, et enfin, quand le cercle est facile \u00e0 construire, il en r\u00e9sulte la construction de la m\u00e9diatrice par intersection de deux cercles et donc le milieu.<\/p>\n\n\n\n<p>On pourrait faire cela aussi dans le cas de ce mod\u00e8le. Mais ce serait assez long en terme d\u2019objets interm\u00e9diaires. Compte tenu du contexte bien sp\u00e9cifique de la g\u00e9om\u00e9trie elliptique et du mod\u00e8le conforme que l\u2019on utilise, on peut faire ceci : \u00e9tant donn\u00e9s deux points \\(A\\) et \\(B\\), et \\(P\\) le p\u00f4le de \\((AB)\\). Alors \\(APB\\) \u00e9tant isoc\u00e8le, sa bissectrice en \\(P\\) est aussi m\u00e9diatrice de \\(A\\) et \\(B\\). Or, le mod\u00e8le \u00e9tant conforme, la bissectrice se construit facilement \u00e0 partir de la bissectrice int\u00e9rieure des tangentes euclidiennes aux droites elliptiques \\((AP)\\) et \\((BP)\\). On a donc \u00e0 la fois la m\u00e9diatrice et le milieu des deux points.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"829\" height=\"827\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/LesMilieux.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-1063\" style=\"width:317px;height:316px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/LesMilieux.png 829w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/LesMilieux-300x300.png 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/LesMilieux-150x150.png 150w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/LesMilieux-768x766.png 768w\" sizes=\"(max-width: 829px) 100vw, 829px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p><strong>La m\u00e9diatrice et le milieu ? Pas vraiment.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>En effet, si on note \\(d=(PI)\\) la m\u00e9diatrice obtenue, par construction, avec la bissectrice de l\u2019angle en \\(P\\) du \u00ab triangle sph\u00e9rique \u00bb \\(APB\\) (soit le triangle form\u00e9 des \u00ab segments int\u00e9rieurs \u00bb). Alors la droite \\(d&rsquo;\\) perpendiculaire en \\(P\\) \u00e0 \\(d\\) coupe elle aussi \\((AB)\\) en un point \\(J\\), et \\(d&rsquo;=(PJ)\\)<em> <\/em>est aussi perpendiculaire \u00e0 \\((AB)\\). Et par les propri\u00e9t\u00e9s alg\u00e9briques des isom\u00e9tries, comme vues dans le cas hyperbolique, on peut \u00e9crire \\(s_{d&rsquo;} o s_d=s_P\\)<em> <\/em>et que \\(s_P(A)=A\\). Il en r\u00e9sulte que \\(s_{d&rsquo;}(B)=A\\), autrement dit \\((PJ)\\)<em> <\/em>est un autre axe de sym\u00e9trie de \\((A\\) et \\(B\\).<\/p>\n\n\n\n<p>On appelle <strong>m\u00e9diateur <\/strong>de deux points \\(A\\) et \\(B\\) <strong>la r\u00e9union des deux m\u00e9diatrices<\/strong>, axes de sym\u00e9trie qui \u00e9changent \\(A\\) et \\(B\\), et <strong>milieux les deux points <\/strong>les intersections de \\((AB)\\) avec chacune de ces deux droites. Deux points ont donc deux milieux.<\/p>\n\n\n\n<p>Par construction <strong>chaque m\u00e9diatrice est la polaire du milieu qu\u2019elle ne contient pas. Le triangle IPJ est tripolaire.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Figure d&rsquo;exploration<\/strong> sur les milieux, m\u00e9diatrices, m\u00e9dianes (droites) d\u2019un triangle \\(ABC\\) (droites)<\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1Mdd8-AdQfcstFg5x-ynBU7QzJtvbFvJb\/view?usp=drive_link\" style=\"width:660px;height:520px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-small-font-size\"><em>Comme les objets sont tous cr\u00e9\u00e9s en m\u00eame temps, la macro <\/em><strong><em>M\u00e9d et milieux <\/em><\/strong><em>cr\u00e9e \u00e0 la fois le p\u00f4le, le m\u00e9diateur et les deux milieux  de deux points. <\/em><br><em>D\u00e9j\u00e0 appliqu\u00e9e \u00e0 \\(A\\) et \\(B\\), le faire sur \\(B\\) et \\(C\\)<\/em><strong><em>, <\/em><\/strong><em>puis sur \\(C\\) et \\(A\\). On peut explorer les diff\u00e9rents \u00e9ventuels alignements ou points de concours.  <\/em><br><em>La m\u00eame figure, termin\u00e9e, avec de nombreux param\u00e9trages d\u2019affichage, est disponible un peu plus loin, pour d\u2019autres explorations.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Les centres des cercles circonscrits<\/strong><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"834\" height=\"836\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/MediateursConcourrants.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-1070\" style=\"width:364px;height:365px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/MediateursConcourrants.png 834w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/MediateursConcourrants-300x300.png 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/MediateursConcourrants-150x150.png 150w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/MediateursConcourrants-768x770.png 768w\" sizes=\"(max-width: 834px) 100vw, 834px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Tout d\u2019abord les six m\u00e9diatrices sont concourantes trois \u00e0 trois. Dans le cadre de <a href=\"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=5276\" data-type=\"URL\" data-id=\"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=5276\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">l\u2019axiomatique de Bachmann<\/a>, on sait que les m\u00e9diatrices sont en pinceau, et donc, ici, concourantes. Cela signifie que le triangle \\(ABC\\) a quatre cercles circonscrits, un dans chacune des 4 composantes connexes construites par le triangle.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Les droites des milieux<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>En notant \\(I_{xy}\\)<strong> <\/strong>les milieux des segments \u00absph\u00e9riques\u00bb, c\u2019est-\u00e0-dire \u00ab int\u00e9rieurs \u00bb pour le mod\u00e8le &#8211; obtenus par les bissectrices int\u00e9rieures issues du p\u00f4le de la droite, et \\(J_{xy}\\) les milieux des compl\u00e9ments , avec <strong>des notations propres au mod\u00e8le<\/strong>, au sens o\u00f9, si ils sont tous les deux les milieux de deux sommets,  mais pas n\u00e9cessairement les milieux des segments du triangle elliptique.<\/p>\n\n\n\n<p>On obtient alors que la droite des milieux int\u00e9rieurs coupe le troisi\u00e8me c\u00f4t\u00e9 en son milieu ext\u00e9rieur. <br>Les trois points \\(J_{xy}\\) sont eux aussi align\u00e9s.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"833\" height=\"833\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/DroiteDesMilieux.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-1072\" style=\"width:397px;height:397px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/DroiteDesMilieux.png 833w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/DroiteDesMilieux-300x300.png 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/DroiteDesMilieux-150x150.png 150w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/DroiteDesMilieux-768x768.png 768w\" sizes=\"(max-width: 833px) 100vw, 833px\" \/><figcaption class=\"wp-element-caption\">Les 4 droites des milieux<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n<p><strong>Le th\u00e9or\u00e8me absolu<\/strong> de la droite des milieux &#8211; montr\u00e9 dans le cas hyperbolique mais dont les arguments utilis\u00e9s sont absolus, assure que la m\u00e9diatrice du troisi\u00e8me \u00ab c\u00f4t\u00e9 \u00bb est perpendiculaire commune aux deux droites.<\/p>\n\n\n\n<p>Il est facile d\u2019en conclure que les intersections des m\u00e9diatrices &#8211; les centres des cercles circonscrits &#8211; sont les p\u00f4les des droites des milieux. Par exemple l\u2019intersection \\(pJ\\) est le p\u00f4le de la droite des milieux \\(J_{xy}\\).<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"830\" height=\"841\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/PolesDesDrtMilieux-1.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-1073\" style=\"width:399px;height:404px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/PolesDesDrtMilieux-1.png 830w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/PolesDesDrtMilieux-1-296x300.png 296w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/PolesDesDrtMilieux-1-768x778.png 768w\" sizes=\"(max-width: 830px) 100vw, 830px\" \/><figcaption class=\"wp-element-caption\">\\(pA, pB, pC\\) et \\(pJ\\) : les 4 centres des cercles circonscrits \u00e0 \\(ABC\\).<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\"><strong>Les m\u00e9dianes<\/strong><\/h2>\n\n\n\n<p>Que les m\u00e9dianes soient en pinceau est un r\u00e9sultat g\u00e9n\u00e9ral non trivial, m\u00eame dans le cas elliptique. Il n\u00e9cessite des <a href=\"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=5743\" data-type=\"URL\" data-id=\"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=5743\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">outils techniques pr\u00e9sent\u00e9s ici<\/a>. Bien entendu cela pourrait se montrer plus facilement \u00abdans un mod\u00e8le\u00bb avec les propri\u00e9t\u00e9s g\u00e9om\u00e9triques du mod\u00e8le, mais cela ne prouve pas que la propri\u00e9t\u00e9 est elliptique.<\/p>\n\n\n\n<p>Comme pour les centres des cercles circonscrits, il y a quatre intersections des m\u00e9dianes. Le triangle \\(G_aG_bG_c\\)<em> <\/em>n\u2019a pas de propri\u00e9t\u00e9s g\u00e9n\u00e9rales particuli\u00e8res par rapport au triangle \\(ABC\\).<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"836\" height=\"825\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Medianes.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-1074\" style=\"width:427px;height:421px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Medianes.png 836w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Medianes-300x296.png 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Medianes-768x758.png 768w\" sizes=\"(max-width: 836px) 100vw, 836px\" \/><figcaption class=\"wp-element-caption\"><em>La figure suivante peut \u00eatre longue \u00e0 charger,<br>ne pas h\u00e9siter \u00e0 relancer son chargement<\/em><\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1n8hzEFqA4WtFhGkIt3Pf1tmvXLJnDcWZ\/view?usp=drive_link\" style=\"width:850px;height:480px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-small-font-size\"><em>Vous pouvez faire appara\u00eetre les point souhait\u00e9s avec les cases \u00e0 cocher. Par ailleurs la macro \u00ab cercle elliptique \u00bb est disponible, vous pouvez tracer les 4 cercles circonscrits. Ils ont pour centres les p\u00f4les des droites des milieux (\\(P_x\\)). Vous pouvez aussi explorer la partie propos\u00e9e ci-apr\u00e8s sur les polaires des points \\(G_x\\). On peut prendre les p\u00f4les des droites \\((G_xG_y)\\), les constructions sont un peu plus courtes.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1V3hzh1VWcZIzdgCc8butyz5H2M2XBMMU\/view?usp=drive_link\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">ouvrir cette figure<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Exemple d\u2019une<\/strong> <strong>autre<\/strong> <strong>exploration possible<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Ci-dessous on a construit, en bleu, les polaires ces 4 centres <em>\\(G, G_a, G_b, G_c\\)<\/em>. La configuration est telle que le triangle \\(G_aG_bG_c\\)<em> <\/em>est <em>tripolaire<\/em>. Il est assez imm\u00e9diat de voir que n\u00e9cessairement, dans ce cas, le triangle initial \\(ABC\\)<em> <\/em>est \u00e9quilat\u00e9ral. Par exemple on peut voir que les m\u00e9diatrices \u00ab int\u00e9rieures \u00bb co\u00efncident avec les m\u00e9dianes \u00ab int\u00e9rieures. Il en r\u00e9sulte que les c\u00f4t\u00e9s du triangle sont les droites des milieux de \\(G_aG_bG_c\\). On a donc cette configuration particuli\u00e8re o\u00f9 les triangles \\(ABC\\)<em> <\/em>et \\(G_aG_bG_c\\)<em> <\/em>ont les m\u00eame milieux \u00ab ext\u00e9rieurs \u00bb \\(J_{xy}\\). Et dans ce cas, la polaire de \\(G\\)<em> <\/em>est la droite de ces milieux ext\u00e9rieurs car \\(G\\)<em> <\/em>n\u2019est autre que le point \\(pJ\\)<em> <\/em>des illustrations de la page pr\u00e9c\u00e9dente.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"838\" height=\"834\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Polaires-4G.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-1075\" style=\"width:409px;height:407px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Polaires-4G.png 838w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Polaires-4G-300x300.png 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Polaires-4G-150x150.png 150w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Polaires-4G-768x764.png 768w\" sizes=\"(max-width: 838px) 100vw, 838px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Milieu d\u2019un segment &#8211; Droites remarquables intrins\u00e8ques<\/h2>\n\n\n\n<p>Si on ne s\u2019int\u00e9resse plus aux couples de points, mais aux segments alors un segment elliptique, en tant que tel, n\u2019a qu\u2019un seul milieu, et une seule m\u00e9diatrice.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"509\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/MilieuMed_segment-1-1024x509.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-1082\" style=\"width:450px;height:223px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/MilieuMed_segment-1-1024x509.png 1024w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/MilieuMed_segment-1-300x149.png 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/MilieuMed_segment-1-768x382.png 768w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/MilieuMed_segment-1.png 1509w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Cela \u00e9claire d\u2019un regard nouveau le \u00ab type elliptique \u00bb des triangles de cette g\u00e9om\u00e9trie : on voit ci-dessous que le triangle \u00abde type elliptique \u00bb &#8211; les deux illustrations de gauche &#8211; a les m\u00e9diatrices (uniques) de ses c\u00f4t\u00e9s elliptiques non concourantes, alors que le cas dit \u00ab de type euclidien \u00bb &#8211; les deux illustrations de droite &#8211; ont leurs m\u00e9diatrices concourantes : il y a donc un cercle circonscrit dont le centre est l\u2019intersection des <strong>m\u00e9diatrices intrins\u00e8ques <\/strong>au triangle.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"252\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Milieu-Med-TR-Ell-Ell-Euclid-1024x252.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-1083\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Milieu-Med-TR-Ell-Ell-Euclid-1024x252.jpg 1024w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Milieu-Med-TR-Ell-Ell-Euclid-300x74.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Milieu-Med-TR-Ell-Ell-Euclid-768x189.jpg 768w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Milieu-Med-TR-Ell-Ell-Euclid-1536x378.jpg 1536w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Milieu-Med-TR-Ell-Ell-Euclid-2048x504.jpg 2048w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Bien entendu les trois intersections deux \u00e0 deux de ces m\u00e9diatrices sont aussi centres des autres cercles circonscrits des trois points \\(A, B\\), et \\(C\\).<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Les m\u00e9dianes intrins\u00e8ques d\u2019un triangle consid\u00e9r\u00e9 comme r\u00e9union de trois segments<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>La situation est la m\u00eame que pour les m\u00e9diatrices : les m\u00e9dianes intrins\u00e8ques sont concourantes pour les triangles \u00abde type euclidien\u00bb et ne le sont pas pour les triangle \u00abde type elliptique\u00bb.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"250\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/TRmedianesSeg-1024x250.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-1088\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/TRmedianesSeg-1024x250.png 1024w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/TRmedianesSeg-300x73.png 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/TRmedianesSeg-768x188.png 768w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/TRmedianesSeg-1536x376.png 1536w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/TRmedianesSeg-2048x501.png 2048w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>En g\u00e9om\u00e9trie, le mot triangle signifie souvent un triplet de trois points (g\u00e9om\u00e9trie affine par exemple, avec les barycentres). en g\u00e9om\u00e9trie euclidienne on identifie souvent le triplet au triplet de trois segments car il n\u2019y a aucune ambigu\u00eft\u00e9. Il n\u2019y en n\u2019a pas non plus dans le cas hyperbolique. Le probl\u00e8me ne se rencontre que dans le cas elliptique car, comme les droites sont born\u00e9es, le compl\u00e9ment d\u2019un chemin &#8211; sur une droite &#8211; allant de \\(A\\) \u00e0 \\(B\\) est aussi born\u00e9, et donc a un milieu et une m\u00e9diatrice.<\/p>\n\n\n\n<p>Le terme trilat\u00e8re, utilis\u00e9 en g\u00e9om\u00e9trie hyperboliques pour parler de trois droites non en pinceaux mais non n\u00e9cessairement s\u00e9cantes est utilisable aussi pour parler des trois droites \\((AB), (BC), (CA)\\) d\u2019un triangle \\(ABC\\), mais ne suffit pas pour le cas elliptique car on veut diff\u00e9rencier la situation avec les segments. En fait, la diff\u00e9rence importante est entre la g\u00e9om\u00e9trie elliptique et la g\u00e9om\u00e9trie sph\u00e9rique dans laquelle, pour des raisons par exemple de trajets en mer, les triangles peuvent \u00eatre trac\u00e9s avec des c\u00f4t\u00e9s dont la longueur n\u2019est pas n\u00e9cessaire la distance entre les sommets..<\/p>\n\n\n\n<p>La diff\u00e9rence &#8211; et la nouveaut\u00e9 elliptique &#8211; est dans la sp\u00e9cificit\u00e9 de ce que l\u2019on appellera d\u00e9sormais un <strong>triangle elliptique (ou intrins\u00e8que)<\/strong>, consid\u00e9r\u00e9 comme la r\u00e9union des trois <strong>segments elliptiques <\/strong>\\([AB], [BC], [CA]\\), dont la longueur est la distance entre les sommets, avec ses <strong>milieux, m\u00e9dianes et m\u00e9diatrices intrins\u00e8ques<\/strong>. On conservera le terme <strong>triangle sph\u00e9rique <\/strong>quand la longueur des c\u00f4t\u00e9s peut ne pas \u00eatre une distance.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Manipulations dynamiques sur les triangles<\/strong>, milieux, m\u00e9diatrices et m\u00e9dianes <strong>intrins\u00e8ques<\/strong><\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1seQGi8R56WrBdOOeHnoxJqvtVSmR6UkM\/view?usp=drive_link\" style=\"width:850px;height:480px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Relation entre type \u00abelliptique\u00bb ou \u00abeuclidien\u00bb des triangles et les points de concours des droites intrins\u00e8ques<\/em><br><em>Cette figure peut \u00eatre longue \u00e0 charger, ne pas h\u00e9siter \u00e0 relancer son chargement par la premi\u00e8re icone.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1ZjrxkP1AeN7m0X273ajUywERR3eU5qqW\/view?usp=drive_link\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">ouvrir cette figure<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Milieux de deux points Pour construire le milieu de deux points dans un mod\u00e8le quelconque de g\u00e9om\u00e9trie non euclidienne, du moins de mani\u00e8re g\u00e9om\u00e9trique, c\u2019est-\u00e0-dire quand ce n\u2019est pas avec le calcul dans le mod\u00e8le (menu PS), ou par conjugaison (menu PSH), la proc\u00e9dure classique consiste \u00e0 construire d\u2019abord le [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"page-templates\/template-fullwidth.php","meta":{"footnotes":""},"jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/1061"}],"collection":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=1061"}],"version-history":[{"count":28,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/1061\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":8334,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/1061\/revisions\/8334"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=1061"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}