{"id":106,"date":"2021-10-15T15:02:33","date_gmt":"2021-10-15T11:02:33","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=106"},"modified":"2026-06-21T17:51:32","modified_gmt":"2026-06-21T13:51:32","slug":"dp-trilateres","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=106","title":{"rendered":"Disque de Poincar\u00e9 – Trilat\u00e8res – premi\u00e8res propri\u00e9t\u00e9s"},"content":{"rendered":"\n

Cette page se proposant d’aller plus loin, on a choisi de faire r\u00e9ellement d\u00e9couvrir les propri\u00e9t\u00e9s \u00e9voqu\u00e9es aux lecteurs en leur faisant finaliser les figures par eux-m\u00eames. Cela signifie que vous allez – si vous le souhaitez – \u00eatre amen\u00e9 \u00e0 utiliser des macros-constructions. Une page d’explication<\/a> a \u00e9t\u00e9 r\u00e9dig\u00e9e \u00e0 cet effet, avec deux exemples simples que l’on peut reprendre.<\/p>\n\n\n\n

La g\u00e9om\u00e9trie des pinceaux<\/h2>\n\n\n\n

On a vu que les droites remarquables d\u2019un triangle, en g\u00e9n\u00e9ral, sont en pinceau <\/strong>(v\u00e9rifi\u00e9 sur les hauteurs et les m\u00e9diatrices). Autrement dit, on a constat\u00e9, d’un point de vue heuristique, qu\u2019elles ont quelque chose en commun : un point (pinceau \u00e0 centre<\/strong>), une perpendiculaire commune (pinceau \u00e0 axe<\/strong>) ou un point \u00e0 l\u2019infini (les droites parall\u00e8les, pinceau sans support<\/strong>).<\/p>\n\n\n\n

De ce point de vue, la g\u00e9om\u00e9trie euclidienne est une g\u00e9om\u00e9trie dans laquelle il n\u2019y a que deux types de droites en pinceau, car les pinceaux \u00e0 axe et sans support sont confondus.<\/p>\n\n\n\n

On peut ensuite d\u00e9finir une notion de pinceau de droites <\/strong>de la fa\u00e7on suivante : Deux droites \\(a\\) <\/em>et \\(b\\) <\/em>d\u00e9finissent le pinceau \\(\\mathscr{P}_{ab}\\) <\/em>qui est l\u2019ensemble des droites \\(c\\) <\/em>telles que les trois droites \\(a, b, c\\) <\/em>sont en pinceau<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

On rappelle que, du point de vue de la th\u00e9orie sous-jacente, trois droites sont en pinceau <\/strong>si la compos\u00e9e des trois sym\u00e9tries orthogonales associ\u00e9es est encore une sym\u00e9trie orthogonale.<\/p>\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n

Le menu Bachmann<\/a> pr\u00e9sente la th\u00e9orie sous-jacente utilis\u00e9e dans ce site. Ce sont, entre particulier, les th\u00e9or\u00e8mes de transitivit\u00e9<\/a> <\/strong>de l\u2019axiomatique de Bachmann qui sont en oeuvre ici.<\/p>\n\n\n\n

Cette notion de pinceau de droite permet de d\u00e9finir un nouvel objet math\u00e9matique : le trilat\u00e8re.<\/p>\n\n\n\n

Un trilat\u00e8re est un ensemble de trois droites qui ne sont pas en pinceau<\/strong>. Il peut \u00eatre sans sommet, comme ci-contre, ou avec un, deux, ou trois sommets (triangle).
Le trilat\u00e8re est donc une extension hyperbolique naturelle<\/strong>, mais aussi tr\u00e8s g\u00e9n\u00e9rale, des triangles.<\/p>\n\n\n\n

On se propose ici d’explorer quelques propri\u00e9t\u00e9s de la g\u00e9om\u00e9trie des trilat\u00e8res. Mais on commence par les propri\u00e9t\u00e9s des pinceaux.<\/p>\n\n\n\n

Propri\u00e9t\u00e9 de base<\/strong> : par un point il passe une et une seule droite appartenant \u00e0 un pinceau de droites donn\u00e9.<\/p>\n\n\n\n

La preuve est une application imm\u00e9diate du th\u00e9or\u00e8me de Hjelmselv<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

En terme de g\u00e9om\u00e9trie dynamique, l’int\u00e9r\u00eat est de construire r\u00e9ellement cette droite en tant de \u00ab\u00a0droite du pinceau\u00a0\u00bb, c’est-\u00e0-dire ind\u00e9pendamment de la nature du pinceau. C’est facile \u00e0 r\u00e9aliser car on fait la construction au sein d’un mod\u00e8le euclidien donc avec les outils de ce mod\u00e8le.<\/p>\n\n\n\n

Dans la figure suivante, nous vous proposons de construire cette droite et de v\u00e9rifier qu’elle est bien une droite du pinceau.<\/p>\n\n\n