{"id":104,"date":"2021-10-15T15:02:10","date_gmt":"2021-10-15T11:02:10","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=104"},"modified":"2025-12-15T11:17:15","modified_gmt":"2025-12-15T07:17:15","slug":"dp-pavages-hyperboliques","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=104","title":{"rendered":"Disque de Poincar\u00e9 – Pavages hyperboliques"},"content":{"rendered":"\n

En g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique la somme des angles d\u2019un triangle n\u2019est pas une constante comme en g\u00e9om\u00e9trie euclidienne, elle est seulement inf\u00e9rieure \u00e0 \\(\\pi\\). Il en r\u00e9sulte une grande diversit\u00e9 des figures.<\/p>\n\n\n\n

Un polygone r\u00e9gulier est un polygone qui a tous ses c\u00f4t\u00e9s \u00e9gaux et tous ses angles \u00e9gaux. Comme dans le cas euclidien, un polygone r\u00e9gulier, que l\u2019on choisit convexe, \u00e0 \\(n\\) c\u00f4t\u00e9 s\u2019inscrit dans un cercle avec un angle au centre \\(\\displaystyle \\frac{2\\pi}{n}\\).<\/p>\n\n\n\n

Mais contrairement au cas euclidien, cela ne d\u00e9finit pas l\u2019angle au sommet. Ainsi, il existe des triangles \u00e9quilat\u00e9raux de tout angle strictement inf\u00e9rieur \u00e0 \\(\\displaystyle \\frac{\\pi}{3}\\) et une infinit\u00e9 de carr\u00e9 de tout angle inf\u00e9rieur \u00e0 \\(\\displaystyle \\frac{\\pi}{2}\\).<\/p>\n\n\n\n

Autrement dit, on peut mettre – th\u00e9oriquement dans un premier temps – \\(k\\) <\/strong>triangles \u00e9quilat\u00e9raux autour d\u2019un point pour tout \\(k>6\\). En it\u00e9rant ceci \u00e0 chaque sommet, on aboutit \u00e0 un pavage de triangles \u00e9quilat\u00e9raux \u00e9gaux. On nommera \\(P(3,k)\\) <\/strong>un tel pavage, avec \\(k\\) <\/strong>triangles par sommets.<\/p>\n\n\n\n

De m\u00eame pour les carr\u00e9s, on ne fera pas de pavages de carr\u00e9s \u00e0 angle droit : on a d\u00e9j\u00e0 vu qu\u2019il n\u2019existe pas de rectangle en g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique et donc pas de carr\u00e9 \u00e0 angle droit. Mais par contre pour tout \\(k>4\\), il existe (toujours th\u00e9oriquement) un pavage de carr\u00e9s avec \\(k\\) <\/strong>carr\u00e9s par sommets : il existe des pavages \\(P(4,k)\\) \u00e0 partir de \\(k=5\\).<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

D\u2019une mani\u00e8re g\u00e9n\u00e9rale, un polygone \u00e0 \\(n\\) <\/strong>c\u00f4t\u00e9s a son angle au centre (l\u2019angle \\(\\angle MON\\) ci-contre avec \\(n=5\\)) \u00e9gal \u00e0 \\(\\displaystyle \\frac{2\\pi}{n}\\).<\/p>\n\n\n\n

Si on place \\(k\\) <\/strong>tels polygones en chaque sommet (ci- contre \\(k=4\\)), l\u2019angle au sommet est \\(\\displaystyle \\frac{2\\pi}{k}\\).<\/p>\n\n\n\n

Comme les triangles \\(OMN\\) et \\(NOP\\) sont isoc\u00e8les, l\u2019angle d\u2019un triangle \u00e9l\u00e9mentaire \\(OMN\\) a ses angles \u00e0 la base de \\(\\displaystyle \\frac{\\pi}{k}\\).<\/p>\n\n\n\n

La somme des angles du triangle inf\u00e9rieure \u00e0 \\(\\pi\\) <\/em>s\u2019\u00e9crit alors \\(\\displaystyle \\frac{2\\pi}{n}+\\frac{2\\pi}{k}<\\pi\\). <\/em>et donc<\/p>\n\n\n\n

Le pavage P(n, k) existe si et seulement si<\/strong> \\(\\displaystyle \\frac{1}{n}+\\frac{1}{k}<\\frac{1}{2}\\)<\/p>\n\n\n\n

Existe, mais qu\u2019en est-il de sa constructibilit\u00e9 ?<\/p>\n\n\n\n

Les r\u00e9sultats de Bolya\u00ef<\/strong><\/h2>\n\n\n\n

D\u00e9s 1829 (manuscrit publi\u00e9 seulement en 1832), donc bien avant qu\u2019on en connaisse un premier mod\u00e8le euclidien, Bolya\u00ef avait \u00e9tudi\u00e9 avec beaucoup de minutie la question de la constructibilit\u00e9 des longueurs en g\u00e9n\u00e9ral. Cela constitue environ le tiers de son m\u00e9moire qui fonde – avec celui de Lobachevsky – l\u2019existence de la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique. Par un long processus, qui utilise que la g\u00e9om\u00e9trie de l\u2019horisph\u00e8re est euclidienne, il a montr\u00e9 que la longueur r est hyperboliquement constructible ssi sh(r) est euclidiennement constructible <\/strong>(\u00e9quivalent \u00e0 \\(ch(r)\\) constructible). <\/p>\n\n\n\n

La fin de l\u2019article de Bolya\u00ef montre que la quadrature du cercle est possible – \u00e0 la r\u00e8gle et au compas bien entendu – en g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique. L\u2019aire d\u2019un triangle est \u00e9gale au d\u00e9faut d’angle \u00e0 \\(\\pi\\), soit \\(\\pi-\\widehat{A}-\\widehat{B}-\\widehat{C}\\). Bolya\u00ef a ainsi montr\u00e9 qu\u2019un carr\u00e9 d\u2019aire \\(\\pi\\) <\/em>– c\u2019est-\u00e0-dire un carr\u00e9 d\u2019angle au sommet \\(\\displaystyle \\frac{\\pi}{4}\\) <\/em>est constructible. Pour cela, il a explicitement calcul\u00e9 le rayon du cercle circonscrit au carr\u00e9 \\(x\\) <\/em>qui v\u00e9rifie la relation \\(ch(x)=\\displaystyle \\frac{\\sqrt{2+\\sqrt{2}}}{\\sqrt{2-\\sqrt{2}}}\\), ce qui prouve qu\u2019il est constructible. C’est la valeur calcul\u00e9e par Bolya\u00cf. On notera qu’elle se simplifie en \\(ch(x)=1+\\sqrt{2}\\). Il avait d’abord montr\u00e9 qu\u2019un cercle d\u2019aire \\(\\pi\\) est aussi constructible car cela revient, par une tr\u00e8s subtile transformation d\u2019un arc d\u2019horicycle en angle, juste \u00e0 construire un angle de \\(\\displaystyle \\frac{\\pi}{4}\\).<\/p>\n\n\n\n

La d\u00e9marche de Bolya\u00ef est illustr\u00e9e dans deux articles de blog, tout d’abord celui-ci <\/a>– qui fonde la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique – et ensuite celui-l\u00e0 <\/a>qui traite de la constructibilit\u00e9 des segments et de la quadrature du cercle.<\/p>\n\n\n