{"id":1035,"date":"2021-11-09T18:32:51","date_gmt":"2021-11-09T14:32:51","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=1035"},"modified":"2025-12-20T20:30:53","modified_gmt":"2025-12-20T16:30:53","slug":"segments-et-triangles-elliptiques","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=1035","title":{"rendered":"Segments et triangles elliptiques"},"content":{"rendered":"\n

Avec la notion de segment elliptique<\/strong>, puis de triangle d\u00e9fini par ses segments, nous entrons d\u00e9sormais plus dans le champ des configurations. Pour d\u00e9finir les segments, on revient sur la sph\u00e8re. Si on consid\u00e8re une sph\u00e8re unit\u00e9, la longueur <\/strong>d\u2019un grand cercle est \\(2\\pi\\), c\u2019est la longueur, constante, de toutes les g\u00e9od\u00e9siques de la sph\u00e8re. Pour la g\u00e9om\u00e9trie elliptique, on ne consid\u00e8re qu\u2019un demi cercle.<\/p>\n\n\n\n

On conserve, pour la g\u00e9om\u00e9trie elliptique, les longueurs sur la sph\u00e8re. Les g\u00e9od\u00e9siques \u00e9tant des cercles centr\u00e9s au centre de la sph\u00e8re, la longueur entre deux points \\(A\\) et \\(B\\) de la sph\u00e8re est proportionnelle – on choisit m\u00eame \u00ab \u00e9gale \u00bb \u00e0 l\u2019angle au centre \\(\\angle AOB\\). Mais cette d\u00e9finition initiale n\u2019est pas exploitable par projection dans le plan.<\/p>\n\n\n

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On peut remarquer que cet angle, par les tangentes aux g\u00e9od\u00e9siques-cercles – les tangentes en \\(N\\) ci-dessus – est l\u2019angle du triangle sph\u00e9rique, issu du p\u00f4le de la droite \\((AB)\\). On le voit ci-dessus dans le cas g\u00e9n\u00e9rique (car, \u00e0 une rotation pr\u00e8s, un grand cercle est un \u00e9quateur) o\u00f9 \\(A\\) et \\(B\\) sont sur l\u2019\u00e9quateur et le p\u00f4le de la droite est le p\u00f4le nord de la sph\u00e8re. L\u2019int\u00e9r\u00eat de cette nouvelle interpr\u00e9tation est qu\u2019elle est transf\u00e9rable dans le contexte elliptique par projection st\u00e9r\u00e9ographique. Et comme la projection est conforme, on conserve l\u2019angle depuis le p\u00f4le comme mesure de la longueur d\u2019un trajet elliptique associ\u00e9 \u00e0 celui sur la sph\u00e8re. Ainsi une droite elliptique a pour longueur \\(\\pi\\) <\/em>: si \\(B\\) est le sym\u00e9trique de \\(A\\) par rapport \u00e0 \\(O\\), les vecteurs tangents verts et rouges sont oppos\u00e9s.<\/p>\n\n\n\n

Plus g\u00e9n\u00e9ralement, la longueur entre deux points est mesur\u00e9e par l\u2019angle en \\(P\\) du triangle \\(APB\\) o\u00f9 \\(P\\) est le p\u00f4le de \\((AB)\\). C\u2019est vrai sur la sph\u00e8re (l\u2019angle \\(\\angle AOB\\) est aussi l\u2019angle en \\(N\\) du triangle sph\u00e9rique \\(ANB\\)), et par projection dans le mod\u00e8le plan de Klein.<\/p>\n\n\n\n

Segment – crit\u00e8re g\u00e9om\u00e9trique – crit\u00e8re num\u00e9rique<\/h2>\n\n\n\n

Disposer d\u2019une mesure de longueur <\/strong>va surtout permettre de simplifier les constructions des segments. On pourrait les obtenir sans cela, les constructions seraient juste plus longues – elles le seront d\u00e9j\u00e0 assez.<\/p>\n\n\n\n

Segment – version g\u00e9om\u00e9trique<\/strong><\/p>\n\n\n

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En effet, soient \\((AB)\\) une droite. Les polaires de \\(A\\) et \\(B\\) se coupent en \\(P\\) le p\u00f4le de \\((AB)\\). Qu\u2019est ce que le segment elliptique [AB] <\/strong>? La droite \u00e9tant born\u00e9e c\u2019est celui des deux chemins de A vers B sur (AB) qui est le plus court<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

On a vu que, dans un triangle tripolaire, les c\u00f4t\u00e9s du triangle sont des moiti\u00e9s de droites. Ainsi, sans aucun calcul de longueur, on peut dire que la partie de (AB) qui est le segment [AB] est celle qui ne coupe pas les polaires de A et B<\/strong>. Ci-contre on voit les deux formes du segment \\([AB]\\) … \u00e0 rapporter sur la sph\u00e8re.<\/p>\n\n\n

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Segment – version num\u00e9rique<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Il y a ici une repr\u00e9sentation pr\u00e9gnante li\u00e9e au mod\u00e8le : on entend par \u00ab aller de \\(A\\) \u00e0 \\(B\\) \u00bb, de fait, le chemin int\u00e9rieur <\/strong>au cercle – le \u00ab segment interne \u00bb – ce qui d\u00e9fini une longueur <\/strong>implicite \u00e0 partir de l\u2019angle en P des droites \\((PA)\\) et \\((PB)\\) comme d\u00e9taill\u00e9 ci- contre. <\/p>\n\n\n\n

En s\u2019installant dans une mesure en degr\u00e9, il y a donc la longueur de \\(A\\) \u00e0 \\(B\\)<\/em> et la distance \\(d(A,B)\\)<\/em>, avec \\(d(A,B) = min(long(A,B), 180-long(A,B))\\).<\/p>\n\n\n\n

Tout comme le fait que les g\u00e9od\u00e9siques de la sph\u00e8re sont ses grands cercles, de m\u00eame, que d soit une distance n\u2019est pas un r\u00e9sultat imm\u00e9diat.<\/em><\/p>\n\n\n\n

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Le segment [AB] comme intersection des deux demi-droites [AB) et [BA)<\/strong><\/p>\n\n\n\n

De mani\u00e8re un peu surprenante – car cette g\u00e9om\u00e9trie est fondamentalement non orient\u00e9e – avec la d\u00e9finition que nous avons donn\u00e9 \u00e0 la notion de demi-droite, on retrouve que le segment [AB] est bien la partie commune aux demi-droites \\([AB)\\) et \\([BA)\\). Dans les illustrations suivantes, on trace \\([AB)\\) et \\([BA)\\) dans les trois cas possibles de \\([AB)\\). En marron \\(A\\) et sa polaire, en vert \\(B\\) et sa polaire. <\/p>\n\n\n

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Les deux cas du haut (les deux illustrations de gauche et les deux de droite) correspondent au cas o\u00f9 la longueur \\(AB\\) est aussi la distance \\(d(A,B)\\). Les deux cas du bas illustrent la troisi\u00e8me possibilit\u00e9, o\u00f9 \\(A\\) et \\(B\\) sont de part et d\u2019autre des deux polaires, et donc la distance \\(d(A,B)\\) est r\u00e9alis\u00e9e par le compl\u00e9mentaire de la longueur \\(AB\\) sur la droite.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Si le segment elliptique est toujours un objet connexe, sa repr\u00e9sentation peut l\u2019\u00eatre (ce sont les cas du haut) ou non (cas du bas). La repr\u00e9sentation d\u2019un segment est connexe quand la longueur \\(AB\\) est aussi la distance \\(d(A,B)\\).
Le segment elliptique est un exemple o\u00f9 la repr\u00e9sentation d\u2019un objet dans un mod\u00e8le peut avoir des propri\u00e9t\u00e9s topologiques diff\u00e9rentes de l\u2019objet<\/strong>. On l’avait vu sur les droites de \\(STS(13)\\)<\/a>, mais c’\u00e9tait un cas de g\u00e9om\u00e9trie finie.<\/p>\n\n\n