{"id":102,"date":"2021-10-15T15:01:49","date_gmt":"2021-10-15T11:01:49","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=102"},"modified":"2025-12-14T15:44:20","modified_gmt":"2025-12-14T11:44:20","slug":"dp-premieres-proporietes","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=102","title":{"rendered":"Disque de Poincar\u00e9  &#8211; Premi\u00e8res propri\u00e9t\u00e9s"},"content":{"rendered":"\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Quadrilat\u00e8re \u00e0 trois angles droits<\/h2>\n\n\n\n<p>Soit une droite hyperbolique \\((AB)\\). Depuis un point \\(N\\), on construit :<\/p>\n\n\n\n<p>\u2022 la perpendiculaire \u00e0 \\((AB)\\) passant par \\(N\\).<br>\u2022 la perpendiculaire \u00e0 cette droite issue de \\(N\\).<\/p>\n\n\n\n<p>Puis on prend un point \\(P\\) sur cette derni\u00e8re droite, et on construit une troisi\u00e8me perpendiculaire, \u00e0 la derni\u00e8re droite, passant par \\(P\\).<\/p>\n\n\n\n<p>On a donc trois droites, avec trois angles droits, en \\(N\\), en \\(P\\) et en le point d\u2019intersection non construit entre les deux premi\u00e8res droites. Dans le cas euclidien, cette configuration est celle du rectangle : il y a un quatri\u00e8me angle droit, et les droites oppos\u00e9es sont parall\u00e8les.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Qu\u2019en est-il ici ?<\/strong><\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1Qok_f6B1eA59lYlQUh9FmmIktFr4gf4F\/view?usp=drive_link\" style=\"width:520px;height:520px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Quand on d\u00e9place \\(N\\), \\(P\\) va souvent \u00ab\u00e0 l\u2019infini\u00bb car la gestion de \\(P\\) comme \u00ab point sur objet \u00bb est euclidienne.<br>Il faut donc souvent reprendre le point \\(P\\) pour le ramener dans le disque.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Bilan<\/strong> : on observe donc que le quadrilat\u00e8re peut ne pas fermer, selon les positions de \\(P\\) et \\(N\\), et que s\u2019il se ferme, le quatri\u00e8me angle n\u2019est jamais droit : <strong>en g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique, il n\u2019existe pas de rectangle<\/strong>. Cela est d\u00fb au fait &#8211; ou selon le contexte, on observe &#8211; que dans un quadrilat\u00e8re la somme des angles est inf\u00e9rieure \u00e0 360\u00b0. Il en r\u00e9sulte que dans un triangle, inf\u00e9rieure \u00e0 180\u00b0.<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Perpendiculaire commune et parall\u00e9lisme<\/h2>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<p>Dans la figure suivante, on se donne deux droites hyperboliques \\((AB)\\) et \\((CD)\\). On se place dans une situation o\u00f9 ces deux droites ne sont pas s\u00e9cantes. On prend un point \\(M\\) sur \\((AB)\\). La perpendiculaire en \\(M\\) \u00e0 \\((AB)\\) &#8211; droite bleue &#8211; coupe \u00e9ventuellement \\((CD)\\) en \\(N\\)<strong>.<\/strong> Puis on construit la perpendiculaire \u00e0 \\((CD)\\)) en \\(N\\) &#8211; droite rouge.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Manipulation sur le figure :<\/strong> <em><strong>d\u00e9placer M <\/strong>sur la droite \\((AB)\\) et observer la situation.<\/em><br><em>Y a-t-il une position de \\(M\\) particuli\u00e8re. Que r\u00e9alise- t-on alors dans ce cas ?<\/em><\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1-e3lNEmm4kMGGtNmPsd_Zj5tBh80Y73y\/view?usp=drive_link\" style=\"width:580px;height:540px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Dans le cas euclidien les deux droites non s\u00e9cantes sont parall\u00e8les et ont une infinit\u00e9 de perpendiculaires communes,<br>d\u2019o\u00f9 l\u2019existence des rectangles. On a vu que ce n\u2019est plus le cas ici, on cherche \u00e0 pr\u00e9ciser la situation.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>On vient de voir que deux droites non s\u00e9cantes ont, en g\u00e9n\u00e9ral, <strong>une et une seule perpendiculaire commune<\/strong>. Il s\u2019agit ici de pr\u00e9ciser ce terme flou \u00aben g\u00e9n\u00e9ral\u00bb. <\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9cisons que cela a \u00e9t\u00e9 une question d\u00e9licate car conceptuellement nouvelle. C\u2019est celle sur laquelle Saccheri a but\u00e9 en 1733. Apr\u00e8s avoir d\u00e9couvert, avec une pr\u00e9cision logique impressionnante, de nombreuses propri\u00e9t\u00e9s hyperboliques. Il a but\u00e9 sur celle-ci en pr\u00e9cisant que c\u2019est impossible car \u00abcela nuit \u00e0 la nature de la droite\u00bb. Il en conclu alors que <strong>Euclide est lav\u00e9 de toute t\u00e2che<\/strong>, titre de son ouvrage sur le V\u00b0 postulat d\u2019Euclide, ouvrage red\u00e9couvert par Beltrami.<\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1_HQMHSMVjJEi-UNLssL6iJHFXqy3Oinu\/view?usp=drive_link\" style=\"width:580px;height:580px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Dans cette figure on a construit <\/em><strong><em>la perpendiculaire commune <\/em><\/strong><em>aux deux droites \\((AB)\\) et \\((CD)\\).<br>1. Explorer finement, en d\u00e9pla\u00e7ant <em>\\(C\\)<\/em> ou <em>\\(D\\)<\/em> par exemple, cette phrase \u00aben g\u00e9n\u00e9ral deux droites non s\u00e9cantes <\/em><br><em>ont une perpendiculaire commune\u00bb <\/em><strong><em>pour faire \u00e9merger la notion de droites parall\u00e8les<\/em><\/strong><em>.<br>2. Faire ensuite tourner <em>\\(D\\)<\/em> autour de <em>\\(C\\)<\/em>. Combien y-a-t-il de parall\u00e8les \u00e0 <em>\\((AB)\\)<\/em> passant par <em>\\(C\\)<\/em>?<\/em><\/p>\n\n\n\n<p><strong>(Tr\u00e8s) bref aper\u00e7u historique<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Saccheri a repris le quadrilat\u00e8re de Al Kayan : un quadrilat\u00e8re \\(ABCD\\) avec \\([BC]\\) et \\([AD]\\) \u00e0 la fois \u00e9gaux et orthogonaux \u00e0 \\([AB]\\). Saccheri montre que les angles en \\(C\\) et \\(D\\) sont \u00e9gaux. La question est de savoir s\u2019ils peuvent \u00eatre autre chose que droits. Il y a l\u2019hypoth\u00e8se de l\u2019angle obtus (ce sera la g\u00e9om\u00e9trie elliptique) et celle de l\u2019angle aigu (g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique).<\/p>\n\n\n\n<p>Il \u00e9vacue tr\u00e8s vite le cas elliptique car il montre que cela conduirait \u00e0 ce que les longueurs des droites soient born\u00e9es. Un tel r\u00e9sultat n\u2019\u00e9tait pas acceptable \u00e0 cette \u00e9poque, contraire \u00e0 une demande de base de la g\u00e9om\u00e9trie d\u2019Euclide, \u00e0 savoir que l\u2019on peut prolonger ind\u00e9finiment un segment. Il faudra attendre Riemann pour que cela soit consid\u00e9r\u00e9 comme recevable. Nous sommes donc sur l\u2019hypoth\u00e8se de l\u2019angle aigu. Saccheri montre que la somme des angles d\u2019un triangle est inf\u00e9rieure \u00e0 2 droits, une propri\u00e9t\u00e9 sur la projection orthogonale du milieu, et surtout il montre l\u2019unicit\u00e9 de la perpendiculaire commune \u00e0 deux droites non s\u00e9cantes. Saccheri a alors, sans aucun mod\u00e8le bien entendu, simplement par sa d\u00e9marche logique, la vision claire de ce que vous avez pu observer sur la figure pr\u00e9c\u00e9dente : la perpendiculaire commune semble aller vers l\u2019infini quand les droites (\\((AB)\\) et \\((CD)\\) se rapprochent de la situation \u00abs\u00e9cantes\u00bb.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"338\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/ParallelesSaccherri-1024x338.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-565\" style=\"width:734px;height:242px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/ParallelesSaccherri-1024x338.png 1024w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/ParallelesSaccherri-300x99.png 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/ParallelesSaccherri-768x254.png 768w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/ParallelesSaccherri-1536x507.png 1536w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/ParallelesSaccherri-2048x676.png 2048w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Et Saccheri conclut, de mani\u00e8re surprenante, apr\u00e8s tant de pr\u00e9cautions logiques, et de r\u00e9ussites, que cette situation \u00abnuit \u00e0 la nature de la droite\u00bb. Et n\u2019a donc pas vu (voulu voir ?) le parall\u00e9lisme hyperbolique : le cas o\u00f9 deux droites ne sont pas s\u00e9cantes mais n\u2019ont pas non plus de perpendiculaires commune<strong>s<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Le parall\u00e9lisme hyperbolique comme situation non connect\u00e9e<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>La grande difficult\u00e9 conceptuelle &#8211; pour l\u2019\u00e9poque de Saccheri &#8211; est d\u2019imaginer que deux droites puissent \u00eatre \u00ab<strong>non connectables<\/strong>\u00bb, c\u2019est-\u00e0-dire qu\u2019on ne puisse passer de l\u2019une \u00e0 l\u2019autre par un point commun ou une perpendiculaire commune. On verra &#8211; dans la page sur <a href=\"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=5657\" data-type=\"URL\" data-id=\"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=5657\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">la s\u00e9paration des g\u00e9om\u00e9tries<\/a> du menu consacr\u00e9 \u00e0 l\u2019axiomatique de Bachmann &#8211; qu\u2019un plan euclidien est un plan dans lequel il existe un rectangle (deux droites admettent deux perpendiculaires communes), et tel que toutes les droites sont connectables.<\/p>\n\n\n\n<p>Au contraire, une situation est dite <strong>hyperbolique <\/strong>s\u2019il existe des droites <strong>non connectables<\/strong>, et un plan hyperbolique est &#8211; dans l\u2019axiomatique de Bachmann &#8211; un plan dans lequel par un point \\(P\\) n\u2019appartenant pas \u00e0 une droite \\(d\\), il existe deux &#8211; et deux seulement &#8211; droites passant par \\(P\\) et non connectables \u00e0 \\(d\\), c\u2019est-\u00e0-dire deux droites passant par \\(P\\) et parall\u00e8les \u00e0 \\(d\\).<\/p>\n\n\n\n<p>D\u00e8s ses premiers travaux sur la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique, <a href=\"http:\/\/curvica974.re\/?p=4934\" data-type=\"URL\" data-id=\"http:\/\/curvica974.re\/?p=4934\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Bolya\u00ef<\/a> appelait d\u00e9j\u00e0 <strong>bouts <\/strong>les points \u00e0 l\u2019infini communs \u00e0 deux droites parall\u00e8les, terme repris par Hilbert. C\u2019est une notion importante pour travailler la transitivit\u00e9. En effet, <strong>en g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique, il n\u2019y a pas transitivit\u00e9 du parall\u00e9lisme <\/strong>des droites sauf si elles ont le m\u00eame bout.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"504\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/ParallelesHyper-1024x504.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-567\" style=\"width:454px;height:223px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/ParallelesHyper-1024x504.png 1024w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/ParallelesHyper-300x148.png 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/ParallelesHyper-768x378.png 768w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/ParallelesHyper.png 1452w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Dans le vocabulaire de Bachmann, on dira que deux droites ont soit un point soit une perpendiculaire commune, soit qu\u2019elles sont <strong>sans support<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p>\u00c9tendre ces notions \u00e0 trois droites, avec des axiomes sur les deux cas connectables, et montrer la transitivit\u00e9 de ce concept dans tous les cas, y compris celui <strong>sans support<\/strong>, avec aucun axiome sur ce cas particulier est un des premiers enjeux de son axiomatique. <\/p>\n\n\n\n<p>Dans le dernier item de ce menu, nous allons explorer ces questions, essentiellement de mani\u00e8re heuristique.<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Droites en pinceaux<\/h2>\n\n\n\n<p>Deux options pour cette premi\u00e8re approche des droites en pinceaux : <br>\u2022 soit faire soi-m\u00eame la figure &#8211; c&rsquo;est tr\u00e8s simple &#8211; c&rsquo;est ce qui est propos\u00e9 ci-apr\u00e8s.<br>\u2022 soit pr\u00e9f\u00e9rer <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1tjFl865-_oMAbnZW7y1aAVANGfRZ1AiE\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/GeomHyp\/DPdroites4hauteursfinalisees.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">manipuler la figure finalis\u00e9e<\/a> (s&rsquo;ouvre dans un autre onglet).<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"378\" height=\"428\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/MacroPerpComm.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-568\" style=\"width:180px;height:204px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/MacroPerpComm.png 378w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/MacroPerpComm-265x300.png 265w\" sizes=\"(max-width: 378px) 100vw, 378px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Parce que c&rsquo;est int\u00e9ressant de faire soi-m\u00eame la manipulation, nous proposons au lecteur, dans la figure suivante de faire une petite manipulation toute simple sur la figure, pour construire les perpendiculaires communes aux hauteurs de trois droites prises deux \u00e0 deux. (R\u00e9viser la pratique des macros <a rel=\"noreferrer noopener\" href=\"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=51\" data-type=\"URL\" data-id=\"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=51\" target=\"_blank\">sur cette page<\/a>.)<\/p>\n\n\n\n<p>Pour cela activer le <strong>mode macro<\/strong> (icone marteau cl\u00e9-\u00e0-molette) et choisir <strong>Perp commune<\/strong>. La macro attends 3 objets. On montre d&rsquo;abord le cercle horizon, puis deux hauteurs. Pour que cela soit pertinent suivre la feuille de route propos\u00e9e ci-dessous.<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Les hauteurs<\/strong> (droites vertes) <strong>d\u2019un triangle ABC<\/strong> (droites rouges) &#8211; <strong>Cas \u00abnon s\u00e9cantes<\/strong>\u00bb.<\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1tjFl865-_oMAbnZW7y1aAVANGfRZ1AiE\/view?usp=drive_link\" style=\"width:760px;height:530px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>1. Activer le mode macro (marteau &#8211; cl\u00e9) &#8211; Tracer la perpendiculaire commune des hauteurs issues de \\(A\\) et \\(B\\).<br>2. Quitter le mode macro en activant l\u2019inspecteur d\u2019objets (la roue). S\u00e9lectionner la perpendiculaire commune et la colorier en bleu <\/em><br><em>3. Reprendre le mode macro. Tracer maintenant la perpendiculaire commune des hauteurs issues de \\(B\\) et \\(C\\).<br>4. D\u00e9placer \\(B\\) par exemple. Que remarque-t-on ? Que peut-on conjecturer ?<\/em><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"568\" height=\"408\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/DP_Hauteur_AvecPopUp-1.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-3327\" style=\"width:460px;height:330px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/DP_Hauteur_AvecPopUp-1.jpg 568w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/DP_Hauteur_AvecPopUp-1-300x215.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 568px) 100vw, 568px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Dans la figure pr\u00e9c\u00e9dente on a v\u00e9rifi\u00e9, sur le mod\u00e8le de Poincar\u00e9, que, quand elles ne sont pas s\u00e9cantes, les hauteurs d\u2019un triangle ont <strong>une perpendiculaire commune aux trois hauteurs<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p>On a d\u00e9j\u00e0 vu &#8211; l\u00e0 encore exp\u00e9rimentalement &#8211; que quand elles sont s\u00e9cantes, les trois hauteurs sont concourantes, et donc par disjonction des cas, quand elles sont sans point commun, ni sans perpendiculaire commune, elles sont toutes les trois parall\u00e8les, ce que l\u2019on peut dire aussi comme ayant un <strong>point id\u00e9al <\/strong>en commun (le bout de Bolya\u00ef et Hilbert) : le point \u00e0 l\u2019infini que l\u2019on peut observer sur une illustration pr\u00e9c\u00e9dente.<\/p>\n\n\n\n<p>Autrement dit, les hauteurs d\u2019un triangle ont <strong>quelque chose en commun <\/strong>: un point hyperbolique, une perpendiculaire, ou encore &#8211; le cas \u00absans support\u00bb des droites parall\u00e8les &#8211; un point id\u00e9al.<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<p><strong><em>Droit<\/em>es en pinceau &#8211; approche heuristique, op\u00e9rationnelle<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Quand trois droites ont quelque chose en commun, on dira qu\u2019<strong>elles sont en pinceau<\/strong>. Et on pr\u00e9cisera la typologie \u00ab<strong>\u00e0 centre<\/strong>\u00bb, \u00ab<strong>\u00e0 axe<\/strong>\u00bb ou \u00ab<strong>sans support<\/strong>\u00bb selon que les droites sont concourantes, ont une perpendiculaire commune, ou sont parall\u00e8les.<\/p>\n\n\n\n<p>Avec ce simple vocabulaire, accept\u00e9 comme consistant, et le fait que ces trois situations sont disjointes, on peut arriver \u00e0 faire des d\u00e9monstrations qui correspondent \u00e0 des ilots de coh\u00e9rence comme on peut en faire coll\u00e8ge, sur quelques d\u00e9finitions pr\u00e9cises, m\u00eame si l\u2019axiomatique g\u00e9n\u00e9rale n\u2019est pas tr\u00e8s pr\u00e9cise.<\/p>\n\n\n\n<p><strong><em>Droites en pinceau &#8211; aspect th\u00e9oriqu<\/em>e<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Dans l\u2019axiomatique de Bachmann, <strong>les objets premiers sont les sym\u00e9tries orthogonales <\/strong>(dans un groupe). Les droites ne sont que des repr\u00e9sentations de ces isom\u00e9tries. On fait parfois \u00abdu Bachmann\u00bb \u00e0 l\u2019\u00e9cole primaire, quand, pour d\u00e9crire ce qu\u2019est une droite \u00e0 partir d\u2019un pliage, on fait plier une feuille \u00e0 un \u00e9l\u00e8ve et qu\u2019on lui demande de \u00abdessiner le trait\u00bb avec un crayon.<br>Dans ce contexte, <strong>trois droites sont \u00aben pinceau\u00bb <\/strong>si le produit des trois est une droite. Autrement, d\u2019un point de vue g\u00e9om\u00e9trique, <strong>si la compos\u00e9e des trois sym\u00e9tries orthogonales associ\u00e9es est encore une sym\u00e9trie orthogonale<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Qu&rsquo;en est-t-il des m\u00e9diatrices ? des m\u00e9dianes ?<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>L\u00e0 encore on propose \u00e0 l&rsquo;utilisateur de finaliser lui-m\u00eame la figure. On peut ne pas colorier les perpendiculaires communes aux m\u00e9diatrices et juste s&rsquo;apercevoir qu&rsquo;elles co\u00efncident. Comme \u00e0 la figure pr\u00e9c\u00e9dente, on peut aussi pr\u00e9f\u00e9rer ouvrir et manipuler, dans un nouvel onglet, <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1TAAf2EWR9tAfnr1YCtbQqLmkaExEBYU_\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/GeomHyp\/DPdroites5MediatricesFinalisees.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">la figure finalis\u00e9e<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p>Dans tous les cas le premier objet \u00e0 montrer pour une macro est le cercle horizon.<\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1TOZq6CHV33VruTxpqD5NGH87BTJZb0O0\/view?usp=drive_link\" style=\"width:800px;height:600px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>1. Activer le mode macro, et construire les 3 m\u00e9diatrices du triangle. Puis placer le triangle pour qu\u2019elles soient non s\u00e9cantes.<br>2. Comme pour les hauteurs prendre la perpendiculaire commune \u00e0 deux m\u00e9diatrices, puis changer la couleur.<br>3. Construire ensuite la perpendiculaire commune \u00e0 un autre couple de m\u00e9diatrices. Conjecture ?<br>4. En utilisant la macro \u00abintersection de deux droites\u00bb, construire les milieux des c\u00f4t\u00e9s, puis les m\u00e9dianes du triangle. Conjecture ?<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Donc, comme <strong>les <\/strong><strong>hauteurs<\/strong>, <strong>les m\u00e9diatrices sont <\/strong>aussi <strong>en pinceau<\/strong>. On l\u2019admet d\u00e9sormais comme un r\u00e9sultat acquis, utilisable.<\/p>\n\n\n\n<p>De m\u00eame, dans la figure pr\u00e9c\u00e9dente, vous avez pu exp\u00e9rimenter que <strong>les m\u00e9dianes sont<\/strong>, elles, <strong>toujours en pinceau \u00e0 centre <\/strong>&#8211; c\u2019est-\u00e0-dire concourantes. Que les m\u00e9dianes soient dans un pinceau toujours \u00ab\u00e0 centre\u00bb est un r\u00e9sultat th\u00e9orique assez d\u00e9licat \u00e0 montrer dans le cas g\u00e9n\u00e9ral de la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique . On peut bien entendu le montrer, g\u00e9om\u00e9triquement, avec l\u2019inversion, dans le mod\u00e8le du disque de Poincar\u00e9 mais cela ne prouve rien du cas hyperbolique en g\u00e9n\u00e9ral.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Un premier th\u00e9or\u00e8me absolu<\/h2>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"890\" height=\"880\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/ThMilieu.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-577\" style=\"width:371px;height:366px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/ThMilieu.png 890w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/ThMilieu-300x297.png 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/ThMilieu-768x759.png 768w\" sizes=\"(max-width: 890px) 100vw, 890px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Avec ce r\u00e9sultat sur les m\u00e9diatrices et de quelques donn\u00e9es suppl\u00e9mentaires nous allons d\u00e9montrer un premier r\u00e9sultat. Pour cela, on suppose acquis que toute sym\u00e9trie centrale de centre \\(I\\) est la compos\u00e9e de deux sym\u00e9tries orthogonales d\u2019axes orthogonaux en \\(I\\) et que cette \u00e9criture, comme dans le cas euclidien, est commutative. <br>(ci-contre \\(s_{I} = s_{d_1} \u2218 s_\\Delta = s_\\Delta \u2218 s_{d_1}\\)). Ce ne sont que des propri\u00e9t\u00e9s alg\u00e9briques sur les \u00e9l\u00e9ments d\u2019ordre 2 dans un groupe.<br>Soient \\(ABC\\) un triangle, \\(I\\) et \\(J\\) les milieux de \\([AC]\\) et \\([BC]\\). On note \\(\\Delta\\)<em> <\/em>la droite \\((IJ)\\), \\(d_1\\) et \\(d_2\\) les perpendiculaires \u00e0 \\(\\Delta\\)<em> <\/em>en \\(I\\) et \\(J\\) respectivement. Soit \\(M = s_{d_1}(A)\\) le sym\u00e9trique de \\(M\\) par rapport \u00e0 \\(d_1\\). Par \\(I\\) milieu de \\([AC]\\) et \\(J\\) milieu de \\([BC]\\), on a \\(A = s_I(C) = s_I \u2218 s_J(B)\\). <br>Or \\(s_I \u2218 s_J = (s_{d_1} \u2218 s_\\Delta) \u2218 (s_\\Delta \u2218 s_{d_2}) = s_{d_1} \u2218 s_{d_2}\\) et donc on peut \u00e9crire \\(A = s_{d_1} \u2218 s_{d_2}(B)\\), soit  \\(M = s_{d_1}(_{d_1} \u2218 s_{d_2}(B)) = s_{d_2}(B)\\). et donc \\(M\\) est aussi le sym\u00e9trique de \\(B\\) par rapport \u00e0 \\(d_2\\).<\/p>\n\n\n\n<p>Ainsi, dans le triangle \\(AMB\\), \\(d_1\\) et \\(d_2\\) sont deux m\u00e9diatrices du triangle, toutes les deux orthogonales \u00e0 la droite \\(\\Delta\\). Donc dans le triangle \\(AMB\\), les m\u00e9diatrices sont en pinceau \u00e0 axe. Et donc la troisi\u00e8me m\u00e9diatrice du triangle, la droite \\(d\\) ci-dessus est, elle aussi, perpendiculaire \u00e0 \\((IJ)\\), Il y a l\u00e0 clairement un r\u00e9sultat sp\u00e9cifique. Alors quel est le th\u00e9or\u00e8me que l\u2019on vient de d\u00e9montrer ?<\/p>\n\n\n\n<p>Cette question a \u00e9t\u00e9 pos\u00e9e, plusieurs ann\u00e9es de suite, en formation initiale des enseignants, dans un contexte d\u2019homologie didactique. L\u2019id\u00e9e est de transposer un th\u00e9or\u00e8me \u00e9l\u00e9mentaire pour les \u00e9tudiants, mais dans un contexte non usuel, pour illustrer que, m\u00eame sur des choses tr\u00e8s simples, ils peuvent, comme leurs \u00e9l\u00e8ves, sentir que quelque chose a \u00e9t\u00e9 d\u00e9montr\u00e9 en ayant des difficult\u00e9s pour exprimer clairement ce qui a \u00e9t\u00e9 d\u00e9montr\u00e9 : quelle est l\u2019expression absolue du th\u00e9or\u00e8me des milieux ?<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Th\u00e9or\u00e8me absolu de la droite des milieux<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Les trois droites \\(d_1, d_2\\) et \\(d\\)<em> <\/em>sont en pinceau \u00e0 axe. Le fait que la droite des milieux \\((IJ)\\) et le c\u00f4t\u00e9 \\((AB)\\) ont une perpendiculaire commune n\u2019est pas vraiment une information, cela signifie &#8211; ici dans le contexte hyperbolique &#8211; seulement qu\u2019elle ne sont pas s\u00e9cantes. Par contre le fait que ces deux droites admettent la m\u00e9diatrice de \\(A\\) et \\(B\\)comme perpendiculaire commune est une information, et c\u2019est cela le th\u00e9or\u00e8me absolu des milieux.<\/p>\n\n\n\n<p>On peut remarquer que la preuve apport\u00e9e ici est absolue, au sens o\u00f9 cela ne fait intervenir que des arguments g\u00e9om\u00e9triques abstraits et n\u2019utilise aucune sp\u00e9cificit\u00e9 du mod\u00e8le dans lequel on l\u2019illustre.<\/p>\n\n\n\n<p>Une fois ceci observ\u00e9, on peut pr\u00e9ciser que si on exprime le r\u00e9sultat avec \u00abla perpendiculaire commune\u00bb le r\u00e9sultat ne va \u00eatre que hyperbolique, car dans le cas euclidien il n\u2019y a pas unicit\u00e9 de la perpendiculaire commune de deux droites. Pour contenir aussi le cas euclidien, on peut dire :<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Th\u00e9or\u00e8me &#8211; Dans un triangle, la droite des milieux de deux c\u00f4t\u00e9s et le troisi\u00e8me c\u00f4t\u00e9 admettent comme perpendiculaire commune la m\u00e9diatrice du troisi\u00e8me c\u00f4t\u00e9.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Comme ce th\u00e9or\u00e8me est r\u00e9dig\u00e9, il est absolu &#8211; au sens usuel, soit euclidien et hyperbolique &#8211; et donc, dans le cas euclidien, il se traduit par le fait que les droites \\((IJ)\\) et \\((AB)\\) sont parall\u00e8les.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Prospective ou superposition culturelle <\/strong>: on verra dans le menu sur la g\u00e9om\u00e9trie elliptique que cette preuve s\u2019applique aussi dans cette g\u00e9om\u00e9trie car si trois droites sont \u00aben pinceau \u00e0 axe\u00bb, elles sont aussi \u00aben pinceau \u00e0 centre\u00bb. Et dans ce cas, le th\u00e9or\u00e8me se traduit aussi par l\u2019alignement des milieux comme d\u00e9j\u00e0 mentionn\u00e9 dans la page de pr\u00e9sentation sur les mod\u00e8les pour parler de l\u2019ambigu\u00eft\u00e9 de l\u2019interpr\u00e9tation des r\u00e9sultats dans les mod\u00e8les.<\/p>\n\n\n\n<p>Ainsi r\u00e9dig\u00e9, il est absolu au sens de Bachmann, c\u2019est-\u00e0-dire vrai dans les trois g\u00e9om\u00e9tries classiques, elliptique, euclidienne et hyperbolique.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Quadrilat\u00e8re \u00e0 trois angles droits Soit une droite hyperbolique . Depuis un point , on construit : \u2022 la perpendiculaire \u00e0 passant par .\u2022 la perpendiculaire \u00e0 cette droite issue de . 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