Revenons sur la construction d’un rectangle interne à l’ellipse en précisant les objets initiaux de la figure. Ci-contre on se donne une droite \((BC)\), les perpendiculaires à la droite en \(B\) et \(C\) se coupent en \(M\). Depuis un point \(A\) sur la perpendiculaire en \(B\), on construit une nouvelle perpendiculaire. Elle coupe \((BC)\) en \(N\) et on construit \(D\) le quatrième point du rectangle \(ABCD\). Les deux triangles \(MBN\) et \(MDN\) sont rectangles en \(B\) et \(D\). A priori, la droite \((BD)\) n’est pas orthogonale à \((MN)\), mais on peut structurer la figure pour permettre de régler, par programmation, la droite \((BC)\) afin que l’angle en \(hB\) soit droit, à la précision dul ogiciel s’entend. Ce n’est bien entendu pas une construction exacte, mais, comme pour toute cette approche du modèle de Hilbert, juste une illustration approchée à la précision du logiciel.
Le triangle \(MBN\), rectangle en \(B\), a donc deux orthocentres, le sommet [\(B\) et le point\(D\). De même le triangle \(MDN\) a lui aussi deux orthocentres, son sommet \(D\) et le point \(B\).
Une façon plus simple de réaliser cette figure est de prendre \(B\) et \(C\) non pas comme points de base, mais de les prendre sur une droite \((UV)\) avec \(U\) et \(V\) extérieurs à l’ellipse, ainsi, en mettant un programme sur \(U\), \(B\) et \(C[/latex] seront toujours des « points sur objets » de [latex](UV)\). Pour voir l’angle droit «arriver» en manipulation directe, on a ajouté un curseur sur le nombre d’itération. L’angle devient droit (avec sa marque comme ci-contre) autour de \(n\) =31, avant on voit sa valeur numérique.
Dans la figure proposée ci-dessous, pour avoir un angle en \(hB\) droit, il faut d’abord se placer dans une configuration où l’angle ne diffère d’un droit que d environ 1 ou 2 degrés. Alors on ajuste le point \(U\) par dichotomie selon le code de base suivant.
Triangle rectangle dynamique bi-orthocentrique
Dans cette figure on conservera la droite euclidienne (\((UV)\) à pente négative.
Avant de cacher le curseur, le placer sur la valeur maximale (40). On peut ensuite agir sur \(A, B, C\).
Désactiver le code pour pouvoir déplacer le point \(U\). L’orthogonalité apparaît pour \(n\) au delà de 30.
Triangles tri-orthocentriques
Mais on peut aller plus loin, en reprenant le principe de ce que l’on a développé autour des droites remarquables concourantes, simultanément, pour les triangles des deux modèles, euclidien et non arguésien. Dans cette configuration aussi, on peut affiner (manuellement et par programme) pour que, en plus de l’angle droit en \(hB\), les cordes de l’ellipse associées aux H-droites soient, trois à trois, elles aussi concourantes, en \(I\) et \(J\) ci-dessous. Dans ce cas, puisque ces points sont sur la corde associée à la H-droite \((BD)\), ils sont donc, par construction, alignés avec \(hB\).
Puisque les orthocentres des triangles euclidiens \(MIN\) et \(MJN\) existent, cela signifie aussi que les deux H-triangles \(MBN\) et \(MDN\) admettent chacun un troisième orthocentre, respectivement les points \(h_3D\) et \(h_3B\).
Principe de réalisation de triangles tri-orthocentriques : le triangle\(MBN\) a trois orthocentres, deux hilbertiens, \(B\) et \(D\) et un euclidien \(H_3B\).
De même,\(MDN\) a aussi trois orthocentres, deux hilbertiens, \(D\) et \(B\) et un euclidien \(H_3D\).
Dans la figure suivante, les points \(U\) et \(V\) sont désormais sur l’ellipse. On a laissé les trois poignées \(U, V\), et \(W\) à partir desquelles on peut piloter les droites. Le code pour l’orthogonalité en \(hB\) est toujours dans le point \(U\) . On peut l’activer ou non dans le widget. En le laissant activé, on agira sur \(W\) pour placer\(I\) et \(J\) sur la corde de l’arc \((BD)\) et réaliser un troisième orthocentre
Conserver les orientations générales de la figure, en particulier \(U\) à ordonnée positive – et au dessus de \((IJ)\) et \(V\) à ordonnée négative.
Autre propriété probable (commentaire des mesures de l’illustration)
On notera que, dans cette configuration, l’existence du troisième orthocentre semble ne se réaliser que quand la droite \((MN)\) est verticale et \((IJ)\) horizontale – soit parallèles aux axes de l’ellipse – même en partant d’une droite \((MN)\) bien oblique. Cela reste à étudier …
Manipulation de la figure
Ouvrir la figure (sans restriction) dans un autre onglet
Triangle rectangle bi-orthocentrique avec l’angle droit hors de l’ellipse
La remarque du cas précédent avec une hauteur horizontale invite à explorer le cas particulier où l’axe horizontal de l’ellipse serait lui-même une H-hauteur d’un triangle isocèle, ayant cet axe comme axe de symétrie. En voici un exemple. Le principe de la construction est décrit dans la figure.
Le code est présenté ici surtout pour illustrer que la variation nécessaire en abscisse est trop faible pour être manipulée à la main. Le cercle circonscrit à \(B, C\) et \(F\) s’appelle \(BCF\). La variable numérique associée est le rayon du cercle, d’où son intervention pour placer les point sur l’arc \((BC)\). Le code est une classique dichotomie adaptée à la situation.
Il est important de désactiver le code avant de toucher à [\(B\) ou à \(hA_1\).
Préférer ouvrir cette figure, sans restriction, dans un nouvel onglet. Le code est en \(hA_1\).
Rectangle ayant deux côtés parallèles
Cette situation bien particulière d’un triangle symétrique par rapport à l’axe est abscisse est l’occasion de construire un rectangle intérieur à l’ellipse avec deux côtés parallèles. Ici les droites ont comme supports euclidiens des droites parallèles à l’axe des ordonnées. Pour cela, on commence par construire le symétrique \(N\), par rapport à l’axe des abscisses (axe focal de l’ellipse, d’un point \(M\) intérieur à l’ellipse.
On place ce point \(M\) de telle sorte que la perpendiculaire à \((BC)\) passant par \(hA_1\) coupe la droite \((MN)\) à l’intérieur de l’ellipse. On construit ainsi les points \(I\) et \(J\). Alors le quadrilatère \(hA_1IJhA_2\) est un rectangle (il a 4 angles droits) et les droites \((MN)\) et \((hA_1hA_2)\) sont parallèles.
On a déjà vu que dans le cas général, hors ce cas particulier, les côtés ne sont pas parallèles.
Tout simplement car pour cela, il faudrait (sur la figure ci-contre) que les centres des cercles \(ABF\) et \(CDF\) respectivement soient alignés avec \(F\). Et ceci n’est possible que si les trois points sont sur l’axe des abscisses comme dans l’illustration ci-dessus. Cette figure est présentée pour illustrer que si l’on construit un quadrilatère avec 4 angles droits à l’intérieur de l’ellipse, le point d’intersection \(I\) des droites \((AB)\) et \((CD)\) existe toujours (sauf cas particulier précédent). Dans cette illustration si l’unité du système graphique – qui est le demi grand axe de l’ellipse – fait 2 cm, le point \(I\) est alors à plus de 1300 m de \(A\). D’où l’illusion visuelle du parallélisme des droites \((AB)\) et \((CD)\).
Intro orthogonalité | H-ortho 1 (triangles) | H-ortho 2 (régionnement extérieur) | H-ortho 3 (régionnement intérieur)